BFGS
BFGS
BFGS(Broyden–Fletcher–Goldfarb–Shanno 알고리즘은 비선형 최적화 문제에서 널리 사용되는 준뉴턴(Quasi-Newton) 방법 중 하나로, 목적 함수의 최소값을 반복적으로 탐색하는 데 효과적입니다. 특히, 목적 함수의 2차 미분(헤시안 행렬)을 직접 계산하지 않고도 뉴턴 방법과 유사한 수렴 성능을 달성할 수 있어, 수치 최적화 분야에서 매우 중요한 위치를 차지하고 있습니다.
BFGS는 1970년대 초에 네 명의 연구자인 Broyden, Fletcher, Goldfarb, 그리고 Shanno에 의해 독립적으로 제안되었으며, 각 이름의 첫 글자를 따서 명명되었습니다. 이 알고리즘은 미분 가능한 목적 함수에 대해 기울기 정보를 활용하여 최적해를 효율적으로 찾는 방법으로, 머신러닝, 공학 설계, 금융 모델링 등 다양한 분야에서 활용됩니다.
개요
BFGS는 뉴턴 방법(Newton's method)의 단점을 보완하기 위해 고안된 최적화 기법입니다. 뉴턴 방법은 각 반복 단계에서 목적 함수의 그래디언트(1차 도함수)와 헤시안 행렬(2차 도함수)을 사용하여 최적해로 빠르게 수렴하지만, 헤시안 행렬의 계산과 역행렬 계산이 계산적으로 매우 비용이 큽니다. 특히 고차원 문제에서는 이 비용이 지나치게 커지는 문제가 있습니다.
이에 반해 BFGS는 헤시안 행렬을 직접 계산하지 않고, 그래디언트의 변화량을 기반으로 헤시안의 근사값을 점진적으로 업데이트함으로써 뉴턴 방법과 유사한 수렴 속도를 유지하면서도 계산 비용을 크게 줄입니다. 이와 같은 접근 방식은 "준뉴턴 방법"이라고 불리며, BFGS는 이 중에서도 수치적 안정성과 수렴 성능이 매우 우수하여 가장 널리 사용되는 알고리즘 중 하나입니다.
BFGS의 수학적 원리
기본 아이디어
BFGS는 다음과 같은 최소화 문제를 해결하는 것을 목표로 합니다:
[ \min_{x \in \mathbb{R}^n} f(x) ]
여기서 ( f )는 미분 가능한 실수값 함수입니다. 각 반복 단계 ( k )에서, BFGS는 다음과 같은 업데이트 식을 사용합니다:
[ x_{k+1} = x_k - \alpha_k H_k \nabla f(x_k) ]
- ( x_k ): 현재 위치
- ( \nabla f(x_k) ): 현재 위치에서의 그래디언트
- ( H_k ): 헤시안 행렬의 역행렬에 대한 근사값 (초기에는 보통 단위행렬 사용)
- ( \alpha_k ): 선형 탐색(line search)을 통해 결정되는 스텝 크기
핵심은 ( H_k )를 어떻게 업데이트하느냐에 있습니다.
헤시안 역행렬 근사 업데이트
BFGS는 다음과 같은 두 벡터를 정의합니다:
- ( s_k = x_{k+1} - x_k )
- ( y_k = \nabla f(x_{k+1}) - \nabla f(x_k) )
이를 이용해 근사된 헤시안 역행렬 ( H_k )는 다음의 BFGS 업데이트 공식을 통해 갱신됩니다:
[ H_{k+1} = \left(I - \rho_k s_k y_k^\top\right) H_k \left(I - \rho_k y_k s_k^\top\right) + \rho_k s_k s_k^\top ]
단, ( \rho_k = \frac{1}{y_k^\top s_k} )
이 업데이트는 초기 헤시안 역행렬 근사값 ( H_0 ) (보통 ( I ))로부터 시작하여, 각 반복에서 그래디언트 변화를 반영함으로써 점점 더 정확한 근사를 만들어냅니다.
BFGS의 특징과 장점
| 특징 | 설명 |
|---|---|
| 빠른 수렴 속도 | 국소적으로 목적 함수가 이차형태일 경우, 초선형 수렴(superlinear convergence)을 보입니다. |
| 헤시안 계산 불필요 | 실제 헤시안 행렬을 계산하지 않아도 되므로, 계산 비용 절감. |
| 메모리 효율성 | 기본 BFGS는 전체 ( H_k ) 행렬을 유지하므로 메모리를 ( O(n^2) ) 소모합니다. |
| 수치적 안정성 | 잘 설계된 선형 탐색과 함께 사용하면 안정적인 수렴이 가능합니다. |
한계점
- 고차원 문제에서 메모리 부담: 변수의 수 ( n )이 클 경우, ( H_k ) 행렬의 크기가 ( n \times n )이 되어 메모리 사용량이 급증합니다.
- 초기 근사값의 영향: 초기 ( H_0 )가 목적 함수의 구조와 크게 다를 경우 초기 수렴 속도가 느릴 수 있음.
이러한 한계를 해결하기 위해 L-BFGS(Limited-memory BFGS)와 같은 변형 알고리즘이 개발되었습니다.
L-BFGS: 메모리 최적화된 BFGS
L-BFGS는 BFGS의 메모리 문제를 해결한 변형 알고리즘으로, 전체 헤시안 근사 행렬을 저장하지 않고, 최근 ( m )개의 ( s_k ), ( y_k ) 벡터만을 저장하여 ( H_k )를 암시적으로 계산합니다. 보통 ( m = 5 \sim 20 ) 정도로 설정하며, 이로 인해 메모리 사용량이 ( O(mn) )으로 줄어들어 대규모 문제에 적합합니다.
L-BFGS는 특히 머신러닝 모델 훈련(예: 로지스틱 회귀, 신경망 최적화)에서 널리 사용됩니다.
활용 사례
- 머신러닝: 로지스틱 회귀, 서포트 벡터 머신(SVM) 등의 파라미터 최적화
- 공학 설계: 구조 최적화, 제어 시스템 설계
- 금융 모델링: 포트폴리오 최적화, 리스크 모델링
- 물리 시뮬레이션: 에너지 최소화 문제
참고 자료 및 관련 문서
- Nocedal, J., & Wright, S. J. (2006). Numerical Optimization (2nd ed.). Springer.
→ BFGS 및 L-BFGS의 이론적 기초를 다룬 권위 있는 서적. - Fletcher, R. (1987). Practical Methods of Optimization. Wiley.
- scipy.optimize.minimize(method='BFGS') – Python의 SciPy 라이브러리에서 BFGS 사용 예시.
from scipy.optimize import minimize
import numpy as np
def rosenbrock(x):
return sum(100.0 * (x[1:] - x[:-1]**2)**2 + (1 - x[:-1])**2)
x0 = np.zeros(10)
result = minimize(rosenbrock, x0, method='BFGS')
print(result.x)
BFGS는 현대 수치 최적화의 핵심 알고리즘 중 하나로, 이론적 완성도와 실용적 성능을 동시에 갖춘 대표적인 준뉴턴 방법입니다. 고차원 문제에는 L-BFGS가 더 적합하지만, 중소규모 문제에서는 BFGS가 여전히 강력한 선택지로 평가받고 있습니다.
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